为什么人总是越胖越要吃?到底是什么主导了我们对食物的欲望和自我约束能力的缺乏?本期精算师必读系列，为大家解读一类生命周期模型，以解释自我约束、体重控制及健康在肥胖中扮演的角色。

模型导读

神经学认为大脑的不同区域被短期(冲动)行为和长期(计划)行为所占据。在做决定时，短期自我会努力通过对食物及其他商品的冲动消费获得即时的满足，理性而有远见的长期自我则会反思冲动消费的后果。

心理学认为人们在做决定时存在急躁和当下偏见。传统的指数折现率可以用来分析急躁对健康行为的影响，但不适用于说明由情感行为引起的当下偏见理论，所以应该用双曲下降的贴现率。但双曲贴现率是不是解决情感行为和自我控制问题的最佳方式还不确定。同时，双曲贴现的时间不一致问题还没有解决。因此该模型建立了一个可能理性角度非最优但可以解决时间一致性问题的模型。

该模型通过分析各变量在解释肥胖中扮演的角色，考虑食物消费和锻炼对健康状况、寿命、和终生效用的影响构建生命周期模型，并研究了肥胖是否是由于对食物过度的欲望或缺乏自我控制导致的。在该模型下，人们既不能完全理性的控制自己又不会完全冲动的消费，而是通过理性约束冲动行为。不屈服于冲动的自我是痛苦的，需要自我控制的效用成本。且这种成本随受约束的最优解与冲动下的最优解的差异的增加而增加。

模型介绍

短期自我部分:

冲动的自我想通过食物和非食物的消费最大化瞬时满足感而忽略长期对于体重和健康的后果。

效用函数:

个体通过对食物u和非食物c的消费获得效用，

表示日常生活中必须进行的食物消耗，即传统效用函数中的"生存消费"，只有

之上的部分才提供效用。因此，过量的食物消费是诱人且可取的。替代弹性为1/(1-Ψ)，即替代弹性随Ψ增大而升高。总食物消费u与非食物消费的替代弹性较低，反映大部分食物消费是用来满足代谢需求的必需品不能轻易被非食物消费替代的事实。跨时期的替代弹性为1/σ，β用于衡量对于食物的欲望。

使效用最大化的食物消费:

预算约束:θw = c + qu。

w表示劳动收入，q表示食物对非食物消费的相对价格。θ表示资产的流动性，即个体在一瞬间最多可以花费θw用来买食物或其他商品。

对应的非食物消费为:

短期最大效用为

长期自我部分:

考虑锻炼对身体质量的影响:b = νu – εx，b为身体质量指数，ν为将单位食物消费转化为卡路里的能量转化率，ε衡量锻炼对于消耗过量的卡路里的效果。通过身体锻炼x，个体可以将过多的食物消费增加的卡路里消耗掉并且控制体重。

考虑身体质量的增加对健康和寿命的影响:预算约束变为:

= w + rk – c – qu – ph，其中k为财富，r为利率，h为健康花费，p为健康的相对价格。个体会增加用于对健康的照顾和服务的花费，并将部分收入储蓄起来以备以后。

健康赤字指数D用来衡量个体表现出来的健康变差的相对数量:

A和γ决定可用的医疗技术，B决定过高的身体质量指数引起的不健康程度。

无自我控制时，效用函数为:

运动没有提供立刻的愉悦，降低了效用，且随个体表现出来的健康赤字数量增加而增加，短期自我更偏向于不付出努力。

考虑自我控制后，终生效用为:

T是内生的，理性的自我会考虑健康行为对寿命的影响。

表示冲动的自我的最大效用与理性选择下的效用差。ω为自我控制的代价，个体会因不向欲望让步而痛苦。ω=0表示该个体具有完美控制能力，此时模型变为传统的健康赤字积累的生命周期模型。

综上所述，可以得到现值Hamiltonian为:

对上式求一阶导可得到各变量的最优解:

Ψ<1，说明相同条件下，如果食物价格q较低，或对事物的品味β较高，或肥胖对健康的损害B较小，或健康赤字可较容易地被恢复，即健康投资的边际生产力

较高或健康照顾的价格p较低，则个体会消费更多令人兴奋的食物。且由于食物和非食物不是完美替代的，当非食物消费c很高时，个体倾向于消费更多食物。这说明更富有的个体会消费更多在食物上。但更富有的人会增加对健康的投资，这使得收入对食物消费的总效用的影响达到平衡。

Φ>1,说明相同条件下，B较低或在给定的健康状态下，锻炼的效用代价σ和Φ较低;当锻炼对减重很有效(ε较高)，或当肥胖对健康的损害B较高，或健康赤字较难恢复，即健康投资的边际生产力

较低或健康照顾的价格p较高时，个体愿意进行更多的锻炼。这使得非食物消费c和在锻炼上的健康支出对收入起到平衡作用。

不锻炼时(x趋向于0)，

如果投资回报r大于健康赤字累积率μ，健康支出随年龄增加而增加。锻炼时(x>0)，健康投资的增加率将比不锻炼时慢。

当食物消费得到的享受程度β趋向于0时，

模型校验

主要结果

1.反事实实验

蓝线为不完全自我控制(ω=0.5)，红线为完全自我控制(ω=0)，蓝点为用于验证的外部信息。

在完全自我控制的情况下，个体的健康赤字减少，对健康的支出增加，老年阶段尤为明显。个体在各个年龄的食物上的消费减少，锻炼增加，个体的BMI值更低，尤其是年轻时候，完全自我控制时仅在老年时才会有轻微超重。期望死亡年龄也因更加健康的行为方式从77.1岁增加到81.1岁。

2. 改变不同参数对结果的影响

结论

该模型表明不完全自我控制可使平均寿命增加多达5年，且有助于理解超重及其隐含的健康结果的驱动因素。该文章认为吃得多和动得少的原因都是缺乏自我控制，也说明了为什么超重个体觉得自己吃得多动得少以及为什么两者总是被同时发现。

文章后续可以完善并扩展到不同方向。比如:

1.考虑不同价格、不同能量构成、不同喜好程度的食物对模型的影响。冲动的自我可能更喜欢高能量食物，而理性的自我更喜欢健康但可能更贵的食物。

2.该模型将自我控制当作外生特征，但在以小时或天计量等更小的时间区间内，自我控制更像一个可以被耗尽再补满的内生变量。

3.自我控制可能在儿童时期可塑，且儿童时期的自我控制能力可以预测成年后的自我控制能力。同时，在代际背景下，自我控制能力在阶层内会遗传。

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文章来源：《健康必读》 网址: http://www.jkbdzzs.cn/zonghexinwen/2020/0514/402.html